本文标题引用了中国科学院院士张景中教授的文章《重建三角,全局皆活——初中数学课程结构性改革的一个建议》。今天无意间又找出这篇文章,读了个痛快!
记得2007年5月份,我接到了一个任务,按张院士文章内容上一节课。要录像,要给张院士看。我欣然答应。
张院士的文章重建了三角函数的理论体系,三角函数的定义发生了根本的变化,“把边长为1,有一个角为A的菱形面积记作sinA”。由这个定义居然能推导出以下一些结论,有些内容连小学生都听得懂:
1、三角形面积S_{\triangle{ABC}}=\frac{bcsinA}{2}=\frac{acsinB}{2}=\frac{absinC}{2}
2、正弦的基本性质(1)sin0°=sin180°=0;(2)sin90°=1;(3)sinA=sin(180-A)
3、直角三角形中锐角的正弦sinA=\frac{a}{c}
4、正弦定理\frac{sinA}{a}=\frac{sinB}{b}=\frac{sinC}{c}
5、正弦和角公式 sin(α+β)=sinαsin(90°-β)+sinβsin(90°-α)
6、二倍角公式 sin2A=2sinAsin(90°-A)
7、特殊角的正弦值(1)sin30^\circ=\frac{1}{2};(2)sin45^\circ=\frac{\sqrt{2}}{2};(3)sin60^\circ=\frac{\sqrt{3}}{2}
8、几何定理(1)直角三角形中,30°角的对边是斜边的一半;(2)勾股定理
9、正弦的增减性
10、三角形两边之和大于第三边
这么多的内容,一节课里选什么内容好呢?我选了“正弦定义”、“三角形面积公式”、“正弦的性质”、“特殊角的正弦值”、“直角三角形中锐角的正弦”五个知识点。当时上的班级是初一,结果因抽象程度太高,学生理解困难,练习题不会做。
我佩服张景中院士的智慧,谁能打破三角函数原有的体系?又有谁能建立新的体系?唯有景中!而且三角函数原有的性质、定理、公式一概不变,也就是“全局皆活”。但是,这样构建新体系好处在哪里?我不清楚。学生学习会遇到什么困难?我可以肯定学生遇到的困难比原来要多,低年级(如初一)的学生会有更多的困难。所以教材编写者不敢轻举妄动,还是袭用原来体系。
下面是我这节课的教案,发表于此,以飨读者。
一、认识正弦
同学们,我们都知道边长为1的正方形面积为1,如果把一个直角变为α,就成为一般的菱形,其面积就不是1了,究竟为多少呢?我们不知道,但肯定与α有关。我们不妨记作sinα。即一个角为α的菱形面积定义为sinα。
如果α=30°,面积=sin30°等。
当正方形ABCD的边长不是1时,设它的面积为S,变成一个角为α的菱形面积为s,我们可以证明s/S=sinα。
上图中假设AB=3,则可以将正方形划分成9个单位正方形,菱形也如此,每个单位菱形与单位正方形的比都是sinα,所以s/S=sinα。
将上述问题中的正方形改为矩形,设矩形的面积为S,变成一个角为α的平行四边形面积为s,我们同样可以证明s/S=sinα。
这就说明将一个矩形的一个直角边成α后,面积是原来的sinα倍。张奠宙教授形象地说: 一个长方形(含正方形),不改变其边长,当直角变为α时,面积所打的折扣是sinα。他将sinα比作“折扣”,非常形象非常贴切。从上图我们还可以看出,设AB=a,AD=b,∠A=α,则。
二、 与正弦有关的面积公式
1、 边长分别为a、b,一个内角为α的平行四边形ABCD的面积是absinα;
2、 两边分别为a、b,夹角为α的三角形面积是\frac{1}{2}absin\alpha.
三、 正弦的性质
认识了正弦之后,我们不难得到正弦的性质。当α=0°或180°时菱形的面积为0,所以sin0°=sin180°=0,这里列举性质如下:
1、sin0°=sin180°=0
2、sin90°=1
3、sinα°=sin(180-α)°
4、 当α为锐角时,α越大sinα就越大;当α为钝角时,α越大sinα就越小。
练习一
1、 用计算器求值:sin30°,sin40°,sin45°,sin120°.
2、边长分别为2、4,一个内角为30度的平行四边形ABCD的面积是 。
3、两边分别为6、5,夹角为45度的三角形面积是 。
4、在括号内写出角的度数,使等式成立sin40°=sin( ),sin170°=sin( ).
四、正弦再认识
如图,在直角△ABC中,∠C=90°,BC=a,AC=b,AB=c,那么有\frac{1}{2}bcsin\angle{A}=\frac{1}{2}ab=S_{\triangle{ABC}},化简后得sin\angle{A}=\frac{a}{c}。
即 在直角三角形中,一个锐角的正弦等于这个角的对边与斜边之比。
练习二
1、如上图,△ABC中∠C=90。,BC=6,sinA=0.6,求AB的长。
2、在第1题中如果AC=8,求sinB。
练习三
1、比较大小 (1)Sin30° sin80° (2)sin100° sin140°
2、二块全等的含有45°的三角板如图放置,则红色部分的两个三角形面积是否相等?为什么?