运用因式定理巧妙分解因式

因式分解是初中代数恒等变形的一种重要基本方法。它应用广泛，是解方程及代数运算的有力工具，具有很强的技巧性。我们除了要求熟练运用常用方法外，还需要掌握其它知识与方法。在这里，我向大家介绍一种分解因式很有用的定理──因式定理。它常与综合除法结合起来使用，在很多因式分解题目中会有用武之地。特别是在分解轮换对称式时常起到其它方法难以替代的作用。

下面我就为大家介绍一下因式定理与轮换对称式的定义及性质。

1、因式定理

如果有一个关于x的多项式，当x=a时其值为零，那么(x-a)是这个多项式的一个因式。反之也然。

2、对称式和轮换对称式

如果将一个多项式中任意两个字母对换，多项式恒等不变，那么这个多项式就叫做对称式。

如果将一个多项式中所有字母轮换（比如把x换成y，把y换成z，把z换成x），多项式恒等不变，那么这个多项式就叫做轮换对称式（简称轮换式）。

3、轮换对称式的性质

两个轮换对称式的和、差、积、商（假如除式能整除被除式）其结果仍是轮换对称式。

明白了上面的定义和性质，下面我们就利用它们解决下面一些问题。

例1  分解因式4a^4-3a^3-2a^2+3a-2

分析：大家观察式子，发现当a=1时，原式=0，根据因式定理，所以原式有因式(a-1)；当a=-1时，原式=0，所以原式也有因式(a+1)。再用综合除法解决问题。

解：∵当a=1时，原式=0，∴原式有因式(a-1)；

∵当a=-1时，原式=0，∴原式有因式(a+1)。

由综合除法知(4a^4-3a^3-2a^2+3a-2)÷(a-1)÷(a+1)=4a^2-3a+2。

综合除法的竖式见右。

∴原式=(a-1)(a+1)(4a^2-3a+2)。

说明：当一个关于x的多项式的各项系数之和等于0时，则这个多项式有因式(x-1)；当它的奇次项系数和等于偶次项系数和时，则原式有因式(x+1)。记住这个结论，对我们解题有一定帮助。在一次因式分解竞赛中，最后一题我运用了这个方法，解题不费吹灰之力。

例2  因式分解(ab+bc+ca)(a+b+c)-abc+(a+b)(b+c)(c+a)

分析：粗一看式子，若将括号一个个打开后再分解，肯定将非常麻烦。但是，如果我们运用因式定理，原本很麻烦的式子可轻松分解。请看解法：

解：∵当a=-b时，原式=0，∴原式有因式(a+b)；

∵原式是三次轮换式，∴原式还有因式(b+c)(c+a)。

∴原式=k(a+b)(b+c)(c+a)    [k\in{Z}]，

取a=b=c=1代入上式，得8k=16，解得k=2，

∴原式=2(a+b)(b+c)(c+a)

思考：为什么设原式=k(a+b)(b+c)(c+a) [k\in{Z}]？这是因为等号两边都是三次式的缘故。

例3  因式分解(x+y+z)^5-x^5-y^5-z^5

分析：本题若打开括号，目前我们还办不到。但我们发现这是一个五次齐次轮换式，所以本题应该思考能否用因式定理解题。请看解法：

解：∵当x=-y时，原式=0，∴原式有因式(x+y)；

又∵原式是五次齐次轮换式，∴原式又有因式(y+z)(z+x)，

∴设原式=(x+y)(y+z)(z+x)[m(x^2+y^2+z^2)+n(xy+yz+zx)]

[注：m(x^2+y^2+z^2)+n(xy+yz+zx)是二次齐次轮换式]

取x=y=z=1及x=y=1,z=-2，代入上式，得\left\{\begin{matrix} 3m+3n=30\\ 6m-3n=15\end{matrix}\right.，解之\left\{\begin{matrix} m=5\\ n=5\end{matrix}\right.，

∴原式=5(x+y)(y+z)(z+x)(x^2+y^2+z^2+xy+yz+zx)

思考：为何设原式=(x+y)(y+z)(z+x)[m(x^2+y^2+z^2)+n(xy+yz+zx)]？这是依据哪一条？

通过以上3例，我们可以发现，在因式分解（尤其是轮换对称式）时，因式定理往往能起到巨大的作用。在数学竞赛中，若我们能熟练使用因式定理这一员“虎将”，则会给我们的成绩带来更大的提高。我们不仅要充分重视认识它，更要在解题中做到灵活地运用它。

点评：2001届的徐磊是我教师生涯中最得意的一位门生，估计前无古人后无来者了。初中阶段看并做完了我家里所有的数学竞赛辅导书，学完了《新概念英语》，获得过英语竞赛宁波市一等奖，数学竞赛省二等奖，科学竞赛省二等奖等。初中毕业后考入宁波效实中学省理科班，高中毕业后被保送就读清华大学，大学毕业后被公费送到德国读研。

就读初中三年，在家苦读三年，从不玩电脑，基本不看电视，偶尔看看报刊。各学科平衡发展，没有一门课的成绩是年级第二的。哪怕生病住院15天，回校后依然如故。

前无古人后无来者……，呜呼……