数学教学怎样培养学生的创新能力

10年前写的论文,被我随手一扔,今天整理资料时找到了它。读着自己失而复得的文章,虽然稚嫩了一点,可不舍得扔掉。于是花了一些时间打印于此,以作纪念。

目前的学生学习数学的现状是:依赖性强,希望继承小学的学习方法,套现成的公式、法则、模式,重结果轻过程,重怎么做轻怎么想,幻想获得一种万能的方法,或想通过题海战术提高解题能力。结果事与愿违,往往收获甚少,导致解题方法单一,缺乏专研精神和创新思维,碰到陌生问题便束手无策。我在教学过程中常用以下方法来拓展学生思维、培养创新能力。现介绍给大家,抛砖引玉,恳切希望得到同行指点。

一、讲授新课不拘泥于书本

如垂径定理的学习中,可以启发学生发现如下命题:

如图,已知圆O和弦AB(不是直径),对于下列结论 ①直线[latex]l[/latex]过圆心O;②直线[latex]l[/latex]平分AB;③[latex]l[/latex]⊥AB;④[latex]l[/latex]平分劣弧[latex]\stackrel\frown{AB}[/latex];⑤[latex]l[/latex]平分优弧[latex]\stackrel\frown{AB}[/latex]。已知其二便知其余。

切线性质定理有三个,也可以类似地缩成一个命题。

又如在学习正多边形的计算时,书本上给出了6个公式:

如图,AB是正n边形的一边,OB=r,那么①中心角∠AOB=[latex]\frac{360^\circ}{n}[/latex];②∠BOE=[latex]\frac{180^\circ}{n}[/latex];③边长AB=[latex]2rsin\frac{180^\circ}{n}[/latex];④周长c=[latex]2nrsin\frac{180^\circ}{n}[/latex];⑤边心距OE=[latex]rcos\frac{180^\circ}{n}[/latex];⑥面积s=[latex]r^2sin\frac{180^\circ}{n}cos\frac{180^\circ}{n}[/latex]。

这么多的公式要学生记忆是困难的,也是没有必要的。我就干脆不讲这些公式,而是抓住正多边形的核心─等腰三角形或直角三角形,通过解直角三角形来解决所有正多边形的计算问题。

二、充分让学生畅所欲言

学生敢想敢言是培养创新能力的前提。一次在学习相似三角形的两个定理,即相似三角形的预备定理和比例线段判定平行后,我让学生填空:

如图,点D、E在△ABC的边AB、AC上, [latex]\Rightarrow[/latex]DE∥BC。

我鼓励学生方法越多越好,结果有角的条件,有比例的条件,其中一位叫史凤波的女生填上的条件是[latex]\frac{AD}{AB}=\frac{DE}{BC}[/latex]。

我不急于否定她的结论,叫大家判断这个推理是否符合定理条件,答:不符合。又问结论是否成立?学生回答:成立。问:为什么?学生无法回答。我就说:我们暂且把这个推理称为史凤波猜想,同学们回去后研究一下,你若认为正确的请给出证明,你若认为错误的请给出反例。

当学生无拘无束、敢想敢说时,他们便会暴露自己的想法,与教师交流。他们常指出我在教学中的漏洞,迫使我上课讲话十分严谨。

三、解题能力体现创新能力

目前学生有许多资料,常常附有解法。但我不满足于别人的解法,要求学生一题多解。一次做到一道题:

如图梯形ABCD的面积为s,AB∥CD,AB=a,CD=b(a<b),AC与BD交于O,若[latex]S_{\triangle{BOC}}=\frac{2}{9}s[/latex],求a:b的值。

书上的解法是:

由[latex]S_{\triangle{AOD}}=S_{\triangle{BOC}}=\frac{2}{9}s[/latex],设[latex]S_{\triangle{AOB}}=s_1[/latex],[latex]S_{\triangle{COD}}=s_2[/latex],则[latex]s_1+s_2=\frac{5}{9}s[/latex].

又[latex]\frac{s_1}{S_{\triangle{BOC}}}=\frac{AO}{CO}=\frac{S_{\triangle{AOD}}}{s_2}[/latex],∴[latex]{s_1}{s_2}=S_{\triangle{AOD}}\times{S_{\triangle{BOC}}}=\frac{4}{81}s^2[/latex],

∴[latex]s_1,s_2[/latex]是方程[latex]t^2-\frac{5}{9}st+\frac{4}{81}s^2=0[/latex]的两个根,∴[latex]s_1=\frac{1}{9}s,s_2=\frac{4}{9}s[/latex],

即[latex]\frac{s_1}{s_2}=(\frac{a}{b})^2=\frac{1}{4}[/latex],∴[latex]\frac{a}{b}=\frac{1}{2}[/latex].

我为这种解法叫好,但不太容易想到,我就想到了另一种方法:

∵[latex]\frac{S_{\triangle{AOB}}}{S_{\triangle{DOC}}}=(\frac{a}{b})^2[/latex],∴可以设[latex]S_{\triangle{AOB}}=a^2k,S_{\triangle{DOC}}=b^2k[/latex],

∵[latex]\frac{S_{\triangle{AOB}}}{S_{\triangle{BOC}}}=\frac{AO}{CO}=\frac{a}{b}[/latex],

∴[latex]S_{\triangle{AOB}}=abk=S_{\triangle{AOD}}[/latex],

由已知[latex]abk=\frac{2}{9}(a^2+b^2+2ab)k[/latex],∴[latex]a_1=2b,a_2=\frac{1}{2}b[/latex],∴[latex]\frac{a}{b}=\frac{1}{2}[/latex].

我常常运用代数法、计算法、运动法、特殊值法、特征分析法、特殊图形法等等诸多方法,这些解题方法学生应用较少。通过反复训练,他们就会逐渐掌握这些方法,手里就会多了几种“武器”,使他们从僵化的思维中解脱出来。

四、自编数学题,拓展创新思维

学生缺乏哪一方面的解题能力,就应该找一些针对性的问题来训练,但有时这种题目不易找,还是自己动手编。比如我编过下列问题:

1、如图,E是弦AB(不是直径)中点,CD是弦(与AB不重合),EC=ED,求证:AB∥CD。

提示:此题考查学生灵活运用垂径定理的能力。设圆心为O,作CD的中垂线,则比过O点和E点,由垂径定理得OE⊥AB,∴AB∥CD。

2、如图,四边形ABCD是圆的内接等腰梯形,圆的半径是8,AB=CD=10,则梯形ABCD的面积的值是(    )
A.是惟一的      B.有且只有二种      C.有且只有四种      D.无数种

提示:由于固定AB时,CD可以移动,所以选D。本题也可以问:当AB固定时,要使A、B、C、D四点构成等腰梯形,CD不能到达圆中的位置有 处。(答案:4处)

3、如图△ABC中AD是高,E在BC上,∠DAC=∠BAE,求证:△ABC的外心在直线AE上。

提示:作△ABC的外接圆,直线AE交圆于F,利用△ADC∽△ABF可得∠ABF=90°.

∴△ABC的外心在直线AE上。

4、在Rt△ABC中,∠C=90°,求sinA+sinB的最大值。

提示:如图,画△ABC的外接圆,[latex]sinA+sinB=\frac{AC+BC}{AB}[/latex],取上半圆的中点D,我们可以证明AC+BC≤AD+BD。

在AC延长线上取CF=CB,∵∠DCB=180°-∠DAB=135°,

∠DCF=180°-∠DCA=135°,∴∠DCB=∠DCF,∴△DBC≌△DFC,∴DF=DB,

∵AD+DF≤AF,∴AC+BC≤AD+BD。

于是[latex]sinA+sinB=\frac{AC+BC}{AB}[/latex]≤[latex]\frac{AD+BD}{AB}[/latex]=[latex]\sqrt{2}[/latex].

五、结合生活实例,促使知识迁移

生活中好的思维习惯可以促进数学能力的发展。反过来,数学中的思维能力可以改变生活习惯。

在讲授观察能力在数学中的重要性时,我问学生:你们有没有观察过,城市道路的路面上菱形标志的含义是什么?学生都说不知道。我就布置了这道观察生活的作业题。后来有个别学生作出了正确的判断。

一次,我要讲一道数学题:

当m为何实数时,方程[latex]x^2-(m-1)x-m-1=0[/latex]至少有一个非负根?

我先问学生:生活中我们遇到正面难以解决的问题,怎么办?比如大风总是把教室的门吹开,门锁又坏了,怎么办?学生缺乏经验,我就告诉学生的方法─关窗!正面难以解决时,考虑解决问题的反面

回到这道题,考虑问题“至少有一个非负根”的反面“何时两根均为负数”,

即[latex]\left\{\begin{matrix}x_1+x_2<0\\ x_1x_2>0\end{matrix}\right.[/latex],[latex]\left\{\begin{matrix}m-1<0\\ -m-1>0 \end{matrix}\right.[/latex],m<-1,

∴当m≥-1时,方程[latex]x^2-(m-1)x-m-1=0[/latex]至少有一个非负根。

六、写小论文,体验成功喜悦

我一直来主张学生写数学小论文,把课堂中学到的知识归纳出来,把别人想不到的东西写出来。每当我讲到有意思的数学问题,及时提醒学生,这便是小论文的题材。学生写过的小论文题目有:

  1. 浅谈综合法和分析法
  2. 配方法在代数式中的应用
  3. 整体思想之我见
  4. 运用因式定理巧妙分解因式
  5. 自编顺口溜,帮助记忆数学概念
  6. 不列竖式也能解决两个多项式相除
  7. 利用运动找对应关系
  8. 浅谈换元思想在因式分解中的应用
  9. 浅谈排除法
  10. 二元一次方程组的妙解

七、实践中学习数学

动手实践不但可以提高学生的动手能力,更容易培养创新思维,既可以在课堂内实践,也可以在课堂外实践。

如学习角平分线概念后,让学生用长方形纸片折出直角的平分线;学习圆柱、圆锥后,做一做它们的模型;学习中心对称后,让学生设计中心对称的商标;学习相似性及三角函数后,让学生用简易方法测量教学楼的高度;学习了三角形重心性质后,让学生用实验的方法验证三角形的重心是不是物理上的重心;过三角形的重心画一条直线是否一定把三角形的面积平分。

《数学教学怎样培养学生的创新能力》有一个想法

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